고2 미적분Ⅰ 만점, 시험 전 종이에 남은 것 | 일산 후곡 수학학원 신수학

이번 2학기 중간고사에서 고2 한 아이가 미적분Ⅰ 만점을 받았습니다. 어머님 허락을 받아 그 과정을 적습니다. 학교 이름은 쓰지 않습니다.

점수보다 말씀드리고 싶은 것은 시험 전의 종이입니다. 이 아이도 시험지를 풀 때마다 다 맞힌 것은 아닙니다. 틀린 자리가 어떻게 좁혀졌는지, 실제 풀이로 보여 드리겠습니다.

■ 시험 전에는 다 맞았을까요?

그렇지 않았습니다. 8월 중순부터 말까지 일일테스트 여섯 번 중 다섯 번은 한 문제씩 틀렸습니다.

틀린 자리는 여러 곳이었고, 가우스 기호가 들어간 극한은 두 번 틀렸습니다.

▶ 가우스 기호 극한 경계의 왼쪽과 오른쪽을 같은 쪽으로 본 자리
▶ 연속 조건　　　　 약분되는 경우 하나만 따지고 멈춘 자리
▶ 연속함수 성질　　 끝까지 가다 계산에서 어긋난 자리

점수로만 보면 8문항 중 7문항이니 잘한 날입니다. 그래도 한 문제의 자리는 종이를 봐야 보입니다.

이 문제에서 아이는 그래프까지 그렸고, 불연속점이 무수히 많다는 보기도 바르게 판단했습니다. 어긋난 곳은 다른 보기 하나였고, 처음 고른 답은 ②였습니다. x가 2보다 살짝 클 때 [x]의 값을 잘못 본 것으로 읽혔습니다. 그래서 다음에 물을 말도 정해졌습니다. "x가 2보다 살짝 클 때 [x]는 왜 2일까?" 공부를 더 시키는 일이 아니라, 볼 자리를 좁히는 일입니다.

■ 틀린 자리는 어떻게 좁혔을까요?

시험 4주 전부터 그동안 놓쳤던 유형을 골라 하나씩 다시 풀게 했습니다. 미분가능성과 연속의 관계, 곱과 합성 형태의 미분, 가우스 기호가 들어간 극한이 먼저였습니다. 다음은 두 접선의 교점, 미분계수 정의를 이용한 극한식 변형, 접선의 기울기였습니다.

위 시험지를 푼 며칠 뒤, 다른 가우스 기호 문제를 맞혔습니다. 같은 주에는 종합 시험지를 세 번 풀어 세 번 다 맞혔습니다. 마지막 시험지는 뒤쪽 네 문제가 모두 어려운 문제였습니다.

다 맞힌 날에도 볼 것은 있습니다. 제가 그 주 리포트에 적은 것은 시간이었습니다. 식이 길어지는 문제에서 정리 순서를 조금 다듬으면 뒤 문제에 쓸 시간이 더 남습니다.

■ 세 번 다 맞혔으면 끝났을까요?

아닙니다. 시험을 2주쯤 앞둔 9월 중순, 뒤쪽 네 문제를 놓친 날이 있었습니다. 세 번 다 맞힌 뒤라도 범위가 달라지면 새 자리가 드러납니다. 그래서 남은 기간은 이 자리부터 보기로 했습니다.

▶ 함수의 최대와 최소 도형의 넓이로 나온 문제
▶ 함수의 그래프　　　 대칭 조건이 있는 문제
▶ 미분가능성　　　　　 곱으로 만든 함수

흔들린 날이 시험 전에 있었기 때문에, 남은 시간에 볼 자리가 정해졌습니다.

■ 미적분Ⅰ은 기출이 없는데 어떻게 준비했을까요?

미적분Ⅰ은 올해 처음 시행되는 과목입니다. 그래서 같은 내용을 다루던 이전 교육과정 수학Ⅱ의 2학기 중간고사를 네 해 치 읽었습니다. 문항마다 단원과 유형을 나눠 보니, 함수의 극한이 가장 큰 덩어리였습니다. 좌우극한으로 극한값이 있는지 따지는 문제와 미정계수를 정하는 문제가 해마다 나왔습니다.

교재는 그 분석대로 묶었습니다. 그 학교 기출을 뼈대로 두고, 교과서 문제와 다른 학교 기출, 변형 문제를 얹었습니다. 미분계수 정의를 이용한 극한식 변형, 도형에서의 극한, 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 거의 빠지지 않는 유형이라 여러 번 실었습니다. 문항 번호가 같은 해설본도 따로 만들었습니다. 학원에서 막힌 자리는 제가 잡고, 집에서는 해설본으로 다시 볼 수 있게 했습니다. 시험 기간에는 일요일에도 보충을 열었습니다. 학교마다 나오는 모양이 다르니 이 비중을 다른 학교에 그대로 옮길 수는 없습니다.

■ 만점 다음에는 어떻게 됐을까요?

새 단원 적분으로 들어간 첫 시험지에서 뒤쪽 네 문항의 답을 고르지 못했습니다. 그중 세 문항은 종이에 남은 식이 없었습니다. 식이 없으면 어디서 막혔는지도 보이지 않습니다. 그래서 답을 못 내더라도 조건 하나를 식으로 바꾼 첫 줄은 남기게 하고 있습니다. 지금도 시험지마다 점수는 오르내립니다. 한 번의 만점이 다음 시험을 보장하지는 않습니다.

■ 고2 부모님은 무엇을 보시면 될까요?

점수를 보실 때 세 가지만 함께 봐 주세요.

1. 틀린 자리가 지난번과 같은 곳인지, 다른 곳인지 봐 주세요.
2. 고쳤다면 다른 시험지에서 혼자 맞혔는지 봐 주세요.
3. 틀린 문제에 식이 남아 있는지 봐 주세요. 첫 줄이 있어야 다음에 물을 수 있습니다.

우리 아이가 어디서 틀리는지, 그 자리가 좁혀지고 있는지 궁금하시면 아래 예약으로 상담을 신청해 주세요. 직접 뵙고 말씀드리겠습니다.